高校数学の全体の流れ・体系を理解することを第1目標に書いた入魂の基本事項集です.詳しい内容は こちら 

□誤植情報

● 「不等式」□F.グラフの後,
2行目:「$a>b\ \eqv f(a)>f(b)$」
4行目:「$a>b\ \eqv f(a)\lt f(b)$」
4つの不等号は,すべて向きが逆でした.すいません.

↓目次 (更新日時はイーカゲン.プリントに記された日時がホンモノです.)

  1. データの分析 (2014/5/4更新)
  2. 集合・論理 (2006/5/26更新)
  3. 整数 (2010/6/15更新)
  4. 場合の数 (2007/5/28更新)
  5. 確率 (2014/4/19更新)
  6. 確率分布(数学B) (2006/9/11更新)
  7. 2次関数 (2006/9/04更新)
  8. 整式・整方程式 (2007/4/23更新)
  9. 不等式 (2010/5/20更新)
  10. 三角関数 (2006/5/15更新)
  11. 三角形・三角比 (2006/5/5更新)
  12. 平面図形 (2010/6/18更新)
  13. 立体図形 (2010/5/1更新)
  14. 指数・対数関数 (2009/5/5更新)
  15. 数学Ⅱの微積分 (2006/4/27更新)
  16. 図形と式(2006/5/13更新)
  17. 2次曲線(2006/9/27更新)
  18. 数列 (2014/4/16更新)
  19. ベクトル (2006/5/13更新)
  20. 極限 (2007/4/16更新)
  21. 微分法(数Ⅲ) (2007/4/22更新)
  22. 積分法(数Ⅲ) (2007/5/21更新)
  23. 複素平面 (2014/6/12更新)
  24. 行列(旧課程) (2006/9/4更新)
  25. 1次変換(旧課程) (2006/9/11更新)

 

データの分析

新課程で取り入れられた異端分野.センター試験では出題され,2次・私大試験ではあまり出題されないだろうと言われていましたが,医学部とかではちょこちょこ出てます.
ここでは,センター試験レベルを超えることも書いてしまっていますので,赤矢印↑のついはハイレベルな内容は,興味がなければ読み飛ばしてください.

注意

プリント貯めても何にもならん.プリント読んでもどうにもならん.
数学脳は,手を動かさんと働かん.

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集合・論理

論理がわかっていないとまったく数学ができないわけではありません.小中高大学生(除・数学科)のほとんどは,あまり論理など気にしないで数学を道具として使っています.
しかし,あるレベル以上の問題,ある一定以上の“高み”を目指すとき,数学のどの分野においても論理は避けて通れないものとなります.そして論理を習得して今まで学んだ数学を高みから見下ろしたとき,日々ひたすら雑多な知識を貯め込む俗世間の営みが,なんともアホらしく感じられるでしょう.
論理がわからなくとも何とかなりますが,論理がわかると強力な武器になります.日々の数学の学習の中で,少しずつ論理に目を向けるようにしましょう.

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整数

上位大学になるほど頻出の整数.行き当たりばったりの解答になりがちですが,基本を体系的に学べば,けっこう自然に解けたりするものです.
「整数問題」の解き方を勉強するのではなく,「整数」そのものをキチンと学ぶことが大事です.

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場合の数

数列と並んで苦手な人が多い分野.できない原因も数列と似てます.要するに,具体的に書き並べるという操作を通して規則性や法則を見出すという訓練が足りてないんです.それをしないで“解き方”だけ覚えようとしてもダメ.まずはしっかり手を動かさないと.
「確率」のページにある「場合の数・確率ができるようになるために.」も参照してね.

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確率

場合の数の親戚です.長い問題文をイキナリ式に表そうとすると失敗しやすいですから,まずは記号化・視覚化.しっかり手を動かして!あと,数Ⅲ微積分と並んで“演習量”がモノをいう分野です.
↓下に,この分野を習得するコツを書き連ねてみました.

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場合の数・確率ができるようになるために.

  • 問題文を読むと同時に「記号化」「視覚化」
  • すべての場合を書き出してしまう気持ちをベースに.
  • とはいえ1440通りも書いちゃいられない.でも,せめて具体例をいくつか書いてみる.
  • 書いてるうちに「法則」が見つかること多し.
  • とにかくなるべく具体的に表現する(「R 3個」 より 「R R R」).格好つけて抽象的にやるのは損.
  • 全体像を見据えながら,余事象を考えるなどして.
  • 答案書き出しちゃえばアッという間に終わるのが確率.書き出すまでにしっかり実験じっくり観察.
  • 「解けた!」と思っても「ちょっと待てよ」と疑ってみる.頭の回転が速い人はとくに要注意.
  • 答案は「純文学小説」みたいにズラズラ書きしないで,「●番号の選び方・・・」「●その並べ方・・・」などと箇条書きにまとめよう.(セコく部分点いただくためにも)
  • コツコツ場合分けするなどの地味~な問題を解く力こそ本物の実力.これは習得に時間を要する.あせらずに,長い目で.
  • 数列を利用するなどの派手な技巧を用いる問題は,訓練すればわりとすぐできるようになる.
  • 文章が長い問題は,たいてい説明が丁寧なだけ.けっして「難しそう・・・」と恐れをなさぬように.
  • 「求めたいもの」と「求めやすいもの」が異なる問題は,差が付く!
  • 問題演習を(軽い気持ちで)たくさんこなして,感覚を磨こう.
  • 「短期集中特訓」と「日々チョットずつコツコツ学習」を織り交ぜて.
  • 典型パターン問題を(理解した上で)暗記しよう.
  • 上の3項目のために,当ページ内の「場合の数・確率超典型問題集」を活用してね.
  • ライバルたちもたいてい確率は苦手.だから,他の人も解けるようなフツウ以下の問題がこなせれば,入試では“ケガ”はしない.
  • (それもダメなら)「神様確率出ませんように」と祈ろう.

 

確率分布(数学B)

基本的にはごく一部の医科大などでしか出ない内容です.ただ,まれに数A範囲の確率でも役立つこともありますので,余力がある人はかじっておきましょう.

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2次関数

高校数学の中で,もっとも“原始的”な関数です.それだけにあらゆる分野で顔を出しますから,完全に身に付けておかねばなりません.
あと,センター試験必出の分野ですので,その対策も少し念頭において書きました.

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整式・整方程式

高校数学全体を支える土台となる分野で,この単元の問題自体は入試で頻出ではありませんが,この分野の基本概念が理解され,自然に手が動いて計算ができると,今後の学習においてひじょうに有利に働きます.(というか,そうでないとたいへん不利です!)できるだけ早い時期にマスターしましょう.

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不等式

あたりまえですが,不等式は等式より難しいです.すごく難しいです.今回基本事項を書いてみて,いかに自分自身よくわかってないかがわかってヤんなりました.

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三角関数

なにしろ「単位円」を用いた定義が関門です.逆に言えば,定義の重要性が身にしみてわかる分野ですから,数学の正しい学習法を体得するきっかけになればと思います.
あとは加法定理などのおびただしい数の公式.個々の公式を単独に記憶するのではなく,定理からまた定理が導かれていく“流れ”を覚えることに尽きます.

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三角形・三角比

正弦定理・余弦定理自体は,少し練習すればすぐ使えるようになるでしょう.勝負は,込み入った図形の中から,上記定理を適用する三角形をどう見出すかです.つまり,定理を使う以前の図形そのものの把握こそが重要といえますので,三角形に関する中学レベルの常識的な知識も扱いました.

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平面図形

小学校6年間,中学校3年間,高等学校3年間(現過程+旧課程+旧旧課程)の基本事項のまとめです.雑多な知識がうじゃうじゃしている印象があるかもしれませんが,一歩“定理の証明過程”に踏み込んでみれば,体系的にまとまります.直接入試で出ることは少ない分野ですが,三角比,ベクトル,平面座標といった図形分野の本質を究める上で重要です.

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立体図形

小学校6年間,中学校3年間,高等学校3年間(現過程+旧課程+旧旧課程)の基本事項の中で大学受験において重要な内容をまとめた上で,実戦的かつ典型的な応用例も盛り込みました.(一部「暗記しちゃえこの立体」から引用)
「空間座標」や「空間ベクトル」以前の「立体図形」そのものを体系的に学ぶ(教えてもらう)機会はあまりないと思います.希少です

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指数・対数関数

入試で単独での出題は少ない分野です.それだけに,“頻出問題の解法パターンを暗記しよう”などというバカげた企みは捨てましょう.指数の定義の美しさを堪能し,対数によってとてつもなく大きな数の桁数や首位を“手計算”だけで知りえた先人たちの「知恵」に拍手を送りたいものです.そのような知識人としての自然な感動・素朴な好奇心をもつことが,実は受験でもいちばん大切なことなのです.

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数学Ⅱの微積分

ここはカンタン.「接点と重解」がポイント.

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図形と式

タイトルの通り,図形と式です.「式と図形」ではありません.つまり,円や直線という単純で美しい図形そのものに着目した上で,それを必要に応じて式で表現することがポイントです.

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2次曲線

ここはちょっとへんてこりんな書き方を敢えてしました.2次曲線の定義は後回しにして,とりあえず「図形←→方程式」の対応を身に付けてもらうことを優先し,曲線の形が目に見えるようになってから“中身”を入れて行こうという方針です.
最重要なのは「焦点から曲線上の点に到る距離」がもつ性質です.これを押さえた上で2次曲線に向き合えば,様々な現象の必然性が見えてきます.

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数列

おそらく分野ごとの苦手率NO1の数列.原因は「数の並びそのものを見ないで公式を暗記する」こと!これに尽きます.そうならないようにするため,なるべく具体的に数を並べながら解説しました.数列が征服できれば,正しい数学の学習姿勢が確立したことの証となります.しっかりやりましょう.

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ベクトル

「基本原理の習得」=「入試問題が解ける」.「ベクトル」はこの図式が見事なまでに成立する分野です.練習問題100題解くより,定理の証明!その方がよっぽど役に立ちます.

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極限

数学Ⅲは,よく「極限に始まり,極限に終わる」と言われます.「始まり」の方は,微分法の根幹である「微分係数の定義」が極限によって定義されるから当り前ですね.そこで「終わる」について.極限を考える時には,計算主体の微分法・積分法に比べて,「発散の速さ」「不等式による評価」といった“感覚”を要する作業が多いため,いわゆる“解法パターン暗記”が効きづらく,関数の変化そのものを捉える本物の力が求められるのです.つまり極限は,数学Ⅲでいちばん最初に学ぶのに,いちばん難しい.
でも,あまり身構えすぎないように.極限が完璧でなくとも,ある程度は微積分法を学ぶことはできます.(だからといって,極限をまったく無視してイキナリ微分公式の暗記から入るなんてのは最低最悪ですが・・・)そして,微分法でグラフを描いたり,積分法で面積に関する不等式を作ったりしているうちに,関数そのものを見る力がだんだん高まり,極限に関する感覚が磨かれてきます.
微積分と極限は,言わば鶏と卵.両者の間を行ったり来たりしながら,徐々にステップアップして行きましょう.

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微分法(数Ⅲ)

まずは
「微分係数の定義」→「公式の証明」→「山ほど計算練習」で基礎固め.
応用では,2つの基本だけ覚えてあとはその場で考える気持ちが大切です.

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積分法(数Ⅲ)

定積分の2つの意味:「きめ細やかに集めたもの」「積分変数には依存しない値」をつねに念頭において.
計算技法については簡単なまとめしかありませんので,「ピンポイント」「数Ⅲ積分計算ドリル」を活用してね.

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複素数と複素平面

まずは
実数:Real Number を,「数直線」上の点と対応付けることに倣って,虚数:Imaginary Number(空想上の数)を座標平面上の点に対応付けます.これにより,虚数が“実体感”が得る同時に,幾何学的応用側面で大活躍します.「ベクトル」など,既知のベースにすれば,比較的短時間で習得できますから,学習が遅れている人も,あきらめないでくださいね.

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行列(旧課程)

“入試においては”わりと軽い分野です.プリント中にある「3つの難所」と「3つの工夫」が身につけば,あとは頻出パターンを覚える勉強です.
ただ,この基本事項はそうした“入試で直接役立つこと”を少~し超えて,数学のわりと厳密な体系をお見せすることを心がけて書いたつもりです.数学好きな人は,ぜひそうした雰囲気を味わってください.そして,「早く大学に行って,厳格で美しい数学を学びたいなあ」なんて思ってくたら管理人は大喜びです.
なお,「行列」は言うまでもなく「1次変換」と密接に関わっていますから,そちらの基本事項も合わせて見ておいてください.

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1次変換(旧課程)

1次変換は入試の花形でした.「ベクトルの変換」「線型性」といった変換のもつ意味を理解した上で問題解法を学ぶことが重要です.

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