1次変換のイメージ作り

2次の正方行列 F=(acbd) (列がそろってなくてゴメン)が表す1次変換 f について考察します.
ベクトル( xy)の f による像を( x’y’)とすると
 xy)=x( 10)+y( 01)  ・・・①
より
 x’y’)=F ( xy)
=F { x( 10)+y( 01) }
=xF( 10)+yF( 01) (行列の分配法則より)
=x( ac)+y( bd)     ・・・②
となります.
①と②を比べると,1次変換 f は次のような変換であることがわかります.
●ベクトル( 10),( 01) をそれぞれベクトル( ac),( bd) (F の第1列,第2列のベクトル)に変える.
●2ベクトルに掛かる実数 x,y は変えない.

さて,このfunction view ファイルでは,点 (x,y) が領域
D:x≧0,y≧0,x+2y≦2
内を動くときに
 x’y’)=x( ac)+y( bd)
で表される点 (x’,y’) が動く範囲 D’ が斜線表示されるようになっています.
初期設定(θ=0)では( ac)=( 10),( bd)=( 01)であり,つまり f で変換する前の点 (x,y) の存在範囲D(直角三角形)となっています.
それではパラメタθの値を増加させてみてください.( 10) と ( 01) で作られていた正方形の“網目”が,赤ベクトル( ac) や青ベクトル ( bd) で作られた平行四辺形の“網目”に変わりますが,その網目の中での表示領域 D’は,つねに 2( ac),( bd) が表す点と原点を結んだ三角形のままですね.

つまり,1次変換って,“網目の変換”なんです.

最後に特殊な場合を1つ.θ=0.370πにすると,( ac)と( bd) が平行となり,ベクトル( x’y’) はすべて一定の方向を向きます.そのため,領域 D’ が“つぶされて”しまい,線分になってしまいましたね.ちなみにこのようなときには
a:b=c:d より det F=ad-bc=0
となり,F は逆行列をもちません.

↓「ダウンロード」を“右”クリック.「対象をファイルに保存」だかなんだかを左クリックしてファイルをパソコンの任意のフォルダに保存し,予めインストールしておいた function view で開いてください.

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