1. 等面四面体 (2006/9/8更新)
  2. 空間内での点と円の距離 (2009/02/26更新)

等面四面体

青色の立方体ABCD-EFGHは,xyz空間で2点(-1,-1,-1),(1,1,1)を対角線の両端とし,各辺が座標軸に平行です.この立方体の6つの面の赤色で示した対角線を結ぶと,「正四面体」BDEGができます.このとき,四面体の向かい合う2辺の中点どうしを結んだ線分KL,MN,PQは,
それぞれの中点で交わり,どの2つも直交します.・・・(*)
(*)は,四面体などの体積を求める上で役立ちますね. また,四面体と平面 z=s (-1≦s≦1)の交わりは,緑色で示した長方形STUVとなります.s を動かしてみてください.

次に,a,b の値を動かしてみてください.立方体の辺の長さが変って直方体となり,四面体の形状も変化しますが,4つの面がすべて合同(3辺の長さが等しい)性質は保たれます.このような四面体を「等面四面体」といいます.また,(*)の性質も保存されます.
なお,座標軸がうざったく感じられてきたら,画面を右クリックして,「座標軸」を「非表示」にしてみてください.

↓「ダウンロード」を“右”クリック.「対象をファイルに保存」だかなんだかを左クリックしてファイルをパソコンの任意のフォルダに保存し,予めインストールしておいた function view で開いてください.

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空間内での点と円の距離

空間内のある平面π上に,Aを中心とする円Cと,C上を動く点Pがあります.この平面π上にない定点Bと動点Pの距離BPについて考えます.パラメタθの値を変え,Pを動かしてみてください.さて,BPが最大・最小となるのは,Pがどの位置にあるときでしょうか.

これを考えやすくするために,非表示になっている点H,および線分BH,HPを表示してみてください.

HはBから平面πに下ろした垂線の足です.つまり直線BHは平面πと垂直なので,三角形BHPは,Pの位置によらずつねに∠BHP=90°の直角三角形であり,ピタゴラスの定理より
BP2=BH2+HP2
が成り立ちます.そして右辺のBH(紫)は一定なので,
BP(緑)が最大,最小となるのは,それぞれ
HP(赤)が最大,最小となるときです.

つまり,
空間内を動く線分BPの長さが
平面π上を動く線分HPの長さ
に帰着されたのです.

これがわかれば,もう線分BH,BPは不要ですから非表示にし,代わりに平面π上の直線HAを表示した上で,θを変えてPを動かしてみてください.最初の線分BPに比べて,ずいぶん簡単になりましたね.

さらに見やすくするには,画面上端のボタンをクリックして,この平面πを真上から見下ろすように視点を移動するとよいでしょう.その上でPを動かせば,もうおわかりですね.円Cと直線HAの2つの交点のうち,Hから遠い方をP1,近い方をP2として,HPおよびBPは,P=P1のとき最大,P=P2のとき最小となります.

なお,この問題は,「プリント」「ピンポイント」「暗記しちゃえこの立体」の□F(1)と同内容です.

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