1. 等角らせん(対数らせん) (2006/5/14更新)
  2. カテナリー&トラクトリクス (2006/10/01更新)
  3. サイクロイド&トロコイド (2006/9/18更新)
  4. 外&内サイクロイド (2006/5/11更新)
  5. アステロイド (2006/6/02更新)
  6. リサージュ曲線 (2006/11/14更新)
  7. 円の垂足曲線:リマソン&カージオイド (2006/9/25更新)
  8. 平行曲線 (2006/9/25更新)
  9. 追跡曲線 (2006/10/31更新)
  10. 減衰振動 (2007/07/09更新)
  11. 曲率円 (2006/9/25更新)
  12. 勾配関数(円) (2006/9/8更新)
  13. 勾配関数(log,sin) (2006/8/29更新)
  14. ヤングの不等式 (2006/9/14更新)
  15. 三角関数による最良近似 (2007/6/25更新)
  16. 回転双曲面 (2006/7/04更新)
  17. 楕円・双曲線 (2006/10/02更新)

等角らせん(対数らせん)

角を表す媒介変数θを用いて x=eθcos θ,y=eθsin θ と表される曲線L(曲方程式は r=eθ )です.
原点OとL上の点Pを結ぶ直線と,PにおけるLの接線のなす角は,つねに π/4 です.また,θの増加にともない,線分OPの長さは,爆発的に増加していきます.

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カテナリー&トラクトリクス

y軸対称な曲線 C:y=f(x)=(ex+e-x)/2 は,2点を固定された紐がだらんと垂れ下がってできる曲線として有名で,「カテナリー=catenary(懸垂線)」と呼ばれます.
f ‘(x)=(ex-e-x)/2 との間に成り立つ関係式:
f(x)2-f ‘(x)2=1 ・・・(*)
を用いると,様々な美しい性質が容易に導かれます.

C (x≧0)に巻き付けられた赤い糸を,A(0,1) のところからピンと張った状態でほどいて行ったとき,糸の先端Rの座標は,P の x 座標 t を用いて
x=t-f ‘(t)/f(t) , y=1/f(t)
とパラメタ表示されます.この点 R が描く曲線 T を「トラクトリクス=tractrix(牽引曲線)」といい,こちらも面白い性質をもっています.

非表示になっている「点Q」「線分RQ」を表示してみてください.P,R が動くとき,R における T の接線と x 軸の交点 Q は,
RQ=1 (一定!)
を満たしながら動きます.また,T の接線 RQ はつねに PR と直交しています.(R が瞬間的には P を中心とする円運動をすることからも納得できますね)
さらに「線分PQ」も表示してみると,Q はつねに P の“真下”にあることもわかります.じつはここに現れた直角三角形 PQR の3辺は
PQ=f(t) , PR=f ‘(t) , RQ=1
となっています.つまり(*)はピタゴラスの定理そのものです.

トラクトリクス T は,xy 平面上に置かれた“重り”R を, x 軸上の Q さんが長さ 1 のロープで引っぱって歩いたときの重り R の軌跡と考えられますね.ちなみに方程式は

んにゃ

です.

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サイクロイド&トロコイド

平らな地面を,中心A半径1のタイヤが「滑ることなく」転がるとき,タイヤの外周上に固定された点Pが描く曲線を「サイクロイド」といいます.接点が(θ,0)のときのPの座標は
x=θ-sin θ,y=1-cos θ
です.θを動かしてタイヤを転がしてみましょう.
注意して見て欲しいのは,Pが地面に触れるとき,一瞬「速さ」(速度ベクトルの大きさ)がゼロになることです.

次にいったん軌跡を消去し,a=APを0.8に変えましょう.タイヤが転がるとき,タイヤの外周より内側に固定された点Pが描くこの曲線を「トロコイド」といいます.接点が(θ,0)のときのPの座標は
x=θ-a sin θ,y=1-a cos θ
となります.
今度はa=AQ=1.2にします.このときのPは,電車の車輪のうちレールに触れる部分より外側に固定された点とイメージするとよいでしょう.この軌跡もやはりトロコイドと呼ばれ,a>1の場合は“ループ”ができます.また,Pはレールの上面(地面)より下に“めり込んだ”とき,電車の進行方向とは逆向きに進みます.少し不思議ですね.

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外&内サイクロイド

半径1の固定円C1の周りを,Q を中心とする半径 |a| の円C2が「滑ることなく」転がるときの,C2上に固定された1点 P の軌跡で,a が正のとき「外サイクロイド」,a が負のとき「内サイクロイド」となります.(初期設定では「a=+0.5」にしてあります.)
P の座標は,a の符号によらず,Q の偏角 θ を用いて
x=(1+a)cos θ-a cos(1+1/a)θ
y=(1+a)sin θ-a sin(1+1/a)θ
と表されます. パラメータθを動かして円を転がしてみましょう. ちなみに,半径aを次の値に設定すると,入試でも頻出の有名曲線が描かれます.
a=1・・・カージオイド
a=-0.25・・・アステロイド
あと,a=-0.5のときの軌跡がけっこう面白いです.

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アステロイド

方程式:
x2/3+y2/3=1
もしくは媒介変数表示:
x=cos3θ,y=sin3θ
で表される曲線:「アステロイド」(星芒形)上の点
P(cos3θ,sin3θ)における接線とx軸,y軸の交点をそれぞれA,Bとすると,線分ABの長さはPによらずつねに1です.θ を0~2πの範囲で動かしてみてください.
なお,この曲線は,「外&内サイクロイド」の「a=-0.25」のときの曲線と一致します.

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リサージュ曲線

パラメータ(媒介変数)θ を用いて
x=sin mθ,y=sin nθ (m,n は自然数)
と表される曲線です.m,n を決めた上で,パラメータθ を動かしてみてください.
入試でよく使われるのは,(m , n)=(1 , 2),(2 , 3) (もしくは m,n が逆)で,(m , n)=(2 , 3) において θ を 0 から π まで動かすと,かわいいキツネさん(ウサギさん?)が描かれます.

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円の垂足曲線:リマソン&カージオイド

中心(1,0)半径1の円周上の点Pにおける接線に,定点Aから下ろした垂線の足をQとして,Pが円周上を動くときのQの軌跡Cを描きます.
初期設定では a=0,つまりAは原点となっています.θが変化するときのCは,形を見ればお分かりの通り(?),「外&内サイクロイド」(a=+1のとき)と同一な曲線:「カージオイド」です.
次に,a を 0<a<1 を満たす値,たとえば「+0.3」あたりにしてみてください.Cは,「カージオイド」と違って原点Oのところで“尖った”形状ではなくなりましたね.この曲線を「リマソン」といいます.(より正確に述べると,カージオイドはリマソンの特殊な場合とみなします.)
a を a<0 を満たす値,たとえば「-0.5」あたりに設定すると,Cは“ループ”を作り,やや複雑な形になりますね.これもやはり「リマソン」です.

なお,Aを極とし,x軸の正の向きを始線とする極座標において,Cの極方程式は r=1+(1-a)cos θ となります.(カージオイドの場合は r=1+cos θ.)

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“平行曲線”

点Pは青色の曲線C(「サイクロイド」に設定されています)上の動点です.PにおけるCの法線上にPからの距離が定数 a (初期設定では a=2)である点Qをとったとき,Qが描く曲線C'(赤色)を,(俗に)Cの平行曲線と呼んだりします.
パラメタθを「時刻」だと思って動かしてみましょう.P,Qが時刻の変化にともなって動くとき,各時刻におけるP,Qの速度ベクトルは平行になっています.つまり,PにおけるCの接線(水色)とQにおけるC’の接線(ピンク色)はつねに平行です.また,P,Qの動く「道のり」の「差」がキレイに求まることで有名です.
QがPより下側を動くとき,Qの動きはかなり複雑なものになりますね.

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追跡曲線(curve of persuit)

原点を出発して x 軸上を正の向きに逃げる点Q(うさぎ)を,点P(犬)が追いかけます.Pは最初点 (0,1) にあり,つねに点Qの向きに(つまりベクトル→{PQ}の向きに)Qと同じ速さで進むとします.
2つの点の座標をそれぞれ
P(f(s),s),Q(g(s),0)
とすると
f(s)=-1/2*log(s)+s2/4-1/4,
g(s)=-1/2*log(s)-s2/4+1/4
となります.
s の値を 1 から 0 に近づけてみてください.

ちなみに2点P,Q間の距離は (1+s^2)/2 で,s が 0 に近付くにつれて 1/2 に近付きます.

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減衰振動

a は正の定数とします(初期設定では a=0.1 です).なお,この座標平面は y 軸方向に 10 倍程度引き伸ばしてあります.
関数
y=e-ax・sin x (=f(x) とおく)(赤色,太線)・・・①
について考えます.この関数は,x の増加にともなって「減衰」していく指数関数
y=e-ax (青色)・・・②
と,-1≦y≦1 の範囲で永遠に振動を繰り返す三角関数
y=sin x (桃色)・・・③
の積からなり,名前のとおり振動しながら減衰していきます.
また,②はつねに正ですから,①の符号は③と一致します.
そして,-e-ax≦e-ax・sin x≦e-ax より,①のグラフは,y=e-ax (青色)と y=-e-ax (緑)のグラフで挟まれた領域にありますから,青色ないし緑のグラフと点を共有するとき,つまり sin x = ±1 i.e. x=π/2+kπ (k∈Z) のとき,その点においてグラフどうしは接します.(それをキチンと示すには微分法を用いますが)
なお,関数①が極値をとる点は,前記接点と少しずれていますので誤解のないように.
次に,a の値を大きくして行きましょう.指数関数②の減衰が早まり,入試問題でよく用いられる a=1 (つまり y=e-x・sin x) になると,x > π の部分はほとんど x 軸に重なってしまって見えません(y 軸方向に 10 倍程度引き伸ばしてあるにも関わらずです!).そこで,“手”で①のグラフを描く際には,さらに y 軸方向に引き伸ばすなどして,たとえ関数値の表現が不正確になってでもグラフの特徴(極値など)が際立つようにゴマカシましょう.
最後に,a を 0.1 に戻した上で,非表示になっていた「線分A→B」,「線分C→D」を表示してみてください.x=s,s+2π における関数①の値が太矢印の向きと長さによって表されています.s の値を変えて,2つの太矢印を動かしてみてください.2つの値 f(s) と f(s+2π) の比が,s によらず一定になっているように(そう言われてみればなんとなく)見えるでしょ.(見えるよな!)実際,2πが三角関数 y=sin x の周期であるため
f(s+2π)=e-a(s+2π)・sin (s+2π)=e-2aπ×e-as・sin s=e-2aπ×f(s)
となり,上記直感は正しいことが示されました.要するに
x が 2πずれると,f(x)は必ず e-2aπ倍になる
という訳です.これによって,区間[0,π],[2π,3π]の部分と x 軸が囲む部分(隣り合う2つの山)の面積どうしの比も 1:e-2aπ になることが見抜けますね.(キチンとした答案を書く際には「置換積分」によって証明します.)同様にして,[0,π],[2π,3π],[4π,5π],[6π,7π],・・・の“山”の面積は,公比 e-2aπ の等比数列になります.

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曲率円

y軸上の定点 A(0,a) から曲線 y=cos x (-π/2<x<π/2) 上の動点 P(θ,cos θ) へ到る距離APがいつ最小になるかを考えてみましょう.そのために,緑色表示された円Cを利用します.
高速道路を走っていると,よく「R=180」などという標識を目にします.これは,「その地点の道路はおおよそ半径180mの円と同じ位の“カーブのきつさ”なので,それに合わせてスピードコントロールしてね」というサインです.この円のことを,道路(曲線)のその地点における「曲率円」といいます.(曲率円の厳密な定義などはとりあえずおいといて,ここでは雰囲気だけ感じ取ってね.)
じつは前記円Cは,曲線 y=cos x の点 B(0,1) における曲率円です.曲線 y=cos x (-π/2<x<π/2) は,Bから離れるほどカーブが緩やかに(つまり曲率円の半径が大きく)なりますから,P(θ,cos θ) は P=B のときを除いてすべてCの外部にあります.・・・①
初期設定 (a=0.3) のように 0<a<1 のとき,Aを中心としてBを通る赤色の円は点Bを除いてCの内部にありますから,①と合わせて
AP≧AB (等号はP=Bのとき成立)
となりますね(θ を動かしてみてください).よってAPは P=B のとき最小になります.
次に,a を負の値,たとえば -0.6 にしてみて下さい.今度は曲率円Cが点Bを除いて赤色の円の内部にあります.そして,曲線 y=cos x はBの近くでCとほとんど同じようなカーブを描きますから,点 P(θ,cos θ) の中には赤色の円の内部にあるものも存在します.したがって,APは P=B 以外のときに最小になります.(a=-0.6 の場合,θ が π/4 より少し大きいくらいのときでしょうか)

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勾配関数(円)

関数 y=sinθ/{cosθ+2}・・・① の値は,円 x2+y2=1 上の偏角θの動点P(cosθ,sinθ)と定点A(-2,0) を結ぶ直線の傾きを表します.θの値を変えてPを動かしてみてください.それにつれて,赤色表示されている①のグラフ上の点Q(θ,sinθ/{cosθ+2})も動き,そのy座標が直線APの傾きを表している様子がわかります.
さらに,APの傾きはPが接点になるとき極値をとり,θ=2π/3で極大,θ=4π/3で極小となることがわかります.(△OAPが“例の”1:2:√3の直角三角形になるときですね)

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勾配関数(log sin)

青色表示されている曲線は y=F1(x) のグラフです(初期設定では F1(x)=log(x) となっています).このグラフ上の点 P(x,F1(x)) と原点 O を結ぶ直線 OP の傾き(勾配):F1(x)/x を x の関数とみてグラフにしたのが赤色表示されている曲線です.
初期設定:F1(x)=log(x) のままで,パラメータ s (P の x 座標を s で表しています)を変化させて青グラフ上の点 P(x,F1(x)) を動かしてみてください.直線OPの傾きを,赤グラフ上の点 Q(x,log(x)/x) の y 座標が表している様子がわかりますね.そして,直線OP が青グラフに接するとき,勾配関数 log(x)/x が極大値をもつことが確認できます.
次に,「定義関数」の「F1」の所をクリックして,F1(x) を log(x) から sin(x) に変えてみてください.直線OP が青グラフに接する度に,勾配関数 sin(x)/x は何度も極値をとることが確認できます.そして,x が大きくなるにつれ,極値をとる x 座標が nπ+π/2 (n は自然数)に近づいていく様子がわかりますね.また,x を限りなく0に近づけると・・・言うまでもなく(?) sin(x)/x は 1 に収束します.

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ヤングの不等式

関数F1(x)は,F1(0)=0をみたす増加関数(初期設定では tan(x)の0≦x<π/2の部分)です.このとき,次の「ヤングの不等式」が成り立ちます.

a>0,b>0,F1-1はF1の逆関数として
0a F1(x) dx+∫0b F1-1(y) dy≧ab. ・・・(*)

(*)の図形的な意味は

青色斜線部の面積+桃色斜線部の面積≧赤線で囲んだ長方形の面積

です.パラメータ a,b の値をいろいろ動かして見てください.a>b,a<b のいずれの場合にも「左辺>右辺」が成り立ち,a=b のときに限って「左辺=右辺」となる様子がわかりますね.
なお,厳密な証明には,左辺第2項を置換&部分積分したり,左辺ー右辺( a,b の2変数関数)の最小値≧0 を示したりします.

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三角関数による最良近似

一般に音の高さは振動数によって決まり,振動数が大きいほど高い音になることはご存知ですね.しかし,たとえばある楽器で「ラ」の音を出したとき,その音にはこの「基音」(440ヘルツ)の他に「2倍音」(880ヘルツ),「3倍音」(1320ヘルツ),・・・が少しずつ含まれており,これらがそれぞれどのような振幅(大きさ)で含まれているかによって,その楽器の「音色」が決まります.
バイオリンなどの弦楽器の音色を表す波形は,おおよそ赤色表示されたグラフのような周期 2π の周期関数で,0≦x≦2π においては1次関数 (π-x)/2 で表されます.“ノコギリ波”と呼ばれています.
この波形を,機械が簡単に作れる単振動(サインカーブ):
sin x (基音) , sin 2x (2倍音) , sin 3x (3倍音) , ・・・
を組み合わせて表現しようというのが(一昔前の)シンセサイザーです.
ここでは「sin 4x」までを用いて,0≦x≦2π (1周期分)において1次関数 (π-x)/2 を“最良近似”することを考えましょう.
そこで,“機械音”:a sin x+b sin 2x+c sin 3x+d sin 4x と“楽器音”:(π-x)/2 の平方誤差:
{a sin x+b sin 2x+c sin 3x+d sin 4x)-(π-x)/2}2
を 0≦x≦2π において集めた定積分:
E:=∫0 {(a sin x+b sin 2x+c sin 3x+d sin 4x)-(π-x)/2}2 dx (E:Error つまり誤差)
が最小となるように,各音の振幅 a,b,c,d を決めます.
定積分 E が「a,b,c,d の関数」であることを頭におきつつ x で積分計算すると,E は a,b,c,d それぞれの2次関数の和として表され
a=1 , b=1/2 , c=1/3 , d=1/4  (一般に sin kx の振幅が 1/k)
のときに E は最小となることが確かめられます.
それでは,“機械音”(青色のグラフ.初期設定では a=1,b=c=d=0)を見ながら,b を 1/2(=0.5) に, c を 1/3(≒0.33) に, d を 1/4(=0.25) に変えていってください.青色の“機械音”が赤色の“楽器音”に近づいていく様子がわかりますね.
ここでは4倍音までしか使わないのでまだかなり誤差が残っていますが,倍音の個数を限りなく増やしていくと,E→0 となります.つまり,“機械音”は“楽器音”に限りなく近づきます.

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回転双曲面

空間内の2点A(1,0,0)とB(0,1,1)を結んだ線分が,z軸のまわりを回転してできる曲面を描きます.θの値を変えてみてください.なお,直線ABはz軸と“ねじれ”の位置にあります(つまり同一平面上にはない).
「↓」ボタンで視点を下げて真横から見ると,双曲線が現れます.
yz 平面との交わりの方程式は,2y2-4(z-1/2)2=1 (x=0) です.

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楕円・双曲線

ここでは a,p は正の定数とします.
定点 F(ap,0) と 定直線 l x=a/p に到る距離の比が p:1 (初期設定では p=0.5)であるような点 P,つまり
FP=p PH ・・・①
を満たす点 P の軌跡 C を見てみましょう.θ の値を変えて点 P を動かしてみてください.
C は 0<p<1 のとき「楕円」であり,その方程式は
x^2/a^2+y^2/{a^2-c^2}=1 (ここに c=ap<a)・・・②
となります.点 F(c,0) をこの楕円の「焦点」,直線 l を「準線」,p を「離心率」といいます.(離心率はふつう“e”で表しますが,function view では「e」は自然対数の底として扱われてしまうので)
①からわかるように,焦点 F から楕円 C 上の任意の点 P に到る距離は,なんと!xPの「1次関数」です.
また,②を見ればわかるように,C は y 軸に関して対称ですから,定点 F'(-ap,0) と 定直線 l’ x=-a/p に到る距離の比が p:1 である点 P の軌跡も C と一致します.(F’,l’ は,C のもう一組の焦点,準線です.)
非表示になっていたピンク色の5つを表示してみてください.
FP=p PH , F’P=p PH’
を辺々加えると
FP+F’P=p(PH+PH’)=p・2a/p=2a (一定)
となり,2焦点 F,F’ から P にいたる距離の和が,つねに楕円 C の長軸の長さ 2a に等しいことが導かれます.

次に,離心率 p を 1.2 に変えてみてください.p>1 のとき,C は双曲線で,その方程式は②とまったく同じで
x^2/a^2-y^2/{c^2-a^2}=1 (ここに c=ap>a)
です.また
|FP-F’P|=2a (主軸の長さ)
が成り立ちます.

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