◇ありのままのシンプルな整数

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現時点の最終更新日:2017/12/13
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●(おそらく)世界初の(ちゃんとした)リフロー型理系電子書籍(ではないかと思う次第)です.(やたら括弧の多い文ですいません・・・)
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●受験学年生→今(11月末)からやる本ではないです.ただ,今まで学んだことを体系的に振り返ってみる用途で役立つ部分はあるかもです.また,これまでの指導でどうにもこうにもならなかったという人は,本書に賭けてみる?短期集中学習で習得可能な分野ではあるので.
高2生→今のうち(高3に上がる前)にガッツリやりなさい!(もちろん,各個人のレベル・目標に応じて.)
●サンプルはこちら.(「戻る」ボタンでもどってね)
その1  その2  その3  その4  その5

◆ 本書のサポート
◆ レベル
中上位大学~超トップまで.ただし・・・
目指すレベルやお急ぎの度合いに応じて学べるよう,「難易度レベル」や「必須度」を項目ごとに明示してあります.目標に合わせて,幅広く使えます.
問題レベル:
「12 の約数を全て書け」(中学生かよ?)から,
「RSA暗号」(超大学入試!)まで.(笑)
数学Ⅲまで学ぶ理系生限定の内容にはマークを付けて明示します.理系・文系を問わず使えます.
amazon に「紙の本の長さ」=「581頁」とありますが,これは,
「問題」→改頁→「問題再録+解答」
というスタイルのせいです.ホントは435頁くらいです.(それでも充分分厚いが.取捨してやりなさいよ~.)

◆「整数」という分野の特徴
◇高校数学の中でもっとも「正しい学び方」が求められる単元.
◇上位大学では超頻出
◇少ない予備知識で習得可能
◇計算量が少な目
◇よって比較的短期間で習得可能
◆ 内容紹介
問題数=約145題
項目をズラ~っと羅列:
〈準備編〉 整式,数列,集合・論理
〈基本編〉 核心,整数の特性,整数の除法,約数・倍数,合同式,剰余類,素数,公約数・公倍数,互いに素,互除法,N進法,諸項目の厳密な証明
〈確認問題〉 核心,整数の特性,整数の除法,約数・倍数,合同式,剰余類,素数,公約数・公倍数,互いに素,互除法,N進法
〈実戦問題〉
「不定方程式(典型)」:不定方程式・1次型1~5,不定方程式・2次型・約数1~6,不定方程式・2次型・大きさ限定1~3,不定方程式・その他
「整式」:整式と余り,連続整数の積1~4,余りの一致1~2,余りを求める1~3,整式と最大公約数1~3,整数値多項式1~2,整数係数の多項式,整式と素数
「平方剰余」:平方剰余1~2,ピタゴラス数1~5,[研究]ピタゴラス数一般,無限降下法,[研究]フェルマー予想
「指数」:指数と余り1~4,指数(複数個)1~3,指数と素数
「分数式」:既約分数化,分数式の整数値1~3
「いろいろな式」:整式と指数1~4,素数・整式・指数,整式・指数と余り,2^x(2y+1)という形,ルートを含む式
「有理数・無理数」:有理数・無理数に関する概説,無理数性の証明1~2,a+b√n型の一意性1~2,整数係数方程式の有理数解1~3,最小多項式
「ガウス記号」:ガウス記号に関する概説,ガウス記号の定義1~2,ガウス記号とグラフ,ガウス記号と商・余り,ガウス記号と桁数,ガウス記号と数列,ガウス記号と極限,ガウス記号と格子点
「階乗と素因数」:階乗と素因数1~5,積と素因数
「N進法」:N進法と文字式,N進法と各位の和,2桁区切り,3桁区切り,上皿天秤の分銅,N進法の演算1~2
「約数の個数・和」:約数の個数・和1~3,完全数1~3,オイラー関数
「漸化式・余り」:漸化式と余り1~3,使いづらい一般項,隣接項の最大公約数1~2,連立漸化式と余り
「融合・発展」:方程式の整数解1~2,不定方程式・解の非存在証明,剰余系の再構成,余り1の存在証明,不定方程式・1次型の自然数解,連立合同方程式(中国の剰余定理),フェルマーの小定理,原始根1~2,原始n乗根,十進小数に関する概説,十進小数1~4,5進小数の利用,2進小数の利用,クンマーの定理,ペル方程式,[コラム]RSA暗号
〈用語一覧〉 読み仮名,英訳(アクセント付),簡易定義,詳細記述頁へのリンク

◆「はじめに」を転記
[1] コンセプト
本書は,大学入試で出題される「整数」に関する問題が自力で解けるようにすることを目指します.
考えてみると,「整数」とはまた凄い単元名ですね.だって,数の種類の名前がそのまま入試出題分野の名称になるっていうのは,他に類を見ませんから.(まあ,「複素数と複素数平面」ってのもありますが・・・)
ただ1種類の数だけで1つの単元が構成されてしまう・・・それを可能にしているのは,他の数にはない整数固有の特性の豊富さです.つまり整数とは,数の特性だけをテーマとする,ひじょうに原始的な分野なんです.また,整数の特性,基本は,実に美しく体系的に出来ています.よって,攻略の仕方はとっても明快:
ありのままの「整数」の特性を,シンプルに学ぶ.
このような,きわめて普通の学び方こそが,この学び方だけが,最良の道です.
と,ここまでに書いた事情を知らない生徒,場合によっては指導者の間に古来よりはびこる迷信が,例の,「整数問題はヒラメキだ!」という類いのものです.どういう訳だか「整数」という単元にだけ「問題」という言葉を添えちゃったりして(笑).まるで「問題の解き方を覚えることが勉強だ」と言わんかの響き満載です.原始的で,基本が全てと言っても過言ではない分野ですから,これでは上手くいくはずがありません.で,上手く行かない理由を“運”とか“センス”に押し付け,しょうがないから「“ヒラメキ”が空から降ってくるのを待つ」かのような姿勢.これが,世間の受験生の大多数がハマり込んでいる落ちる学習法です.
問題解法以前の,学理そのものを普通に,しっかりと学ぶ.それにより,問題は自ずと解けるようになる.これが,合格うかる学習法です.こうした基本に根差した学習の蓄積が,身に付き,無意識の領域に沈んだ後,目の前の問題を解こうとしたとき地の底から湧き出してくることを,世間では“ヒラメキ”というよくわからない言葉で呼んでいるんです.(これは,整数に限らず数学全般,延いては学問全般について言えることです.)
もちろん本書は(筆者の書くものは),基本からコツコツ学んで行く,合格る学習法の方を採用しています.「基本とかかったるいから,そんなのスッ飛ばして 手っ取り早く問題解けるようにしてくれや」と願う人には,本書は(私の全ての著作は)全く適しません(笑).
さて,どうですか?やる気は満々ですか?「ん~~」と躊躇している人に向けて,耳寄りな情報を提供しておきます.
受験が近づいて来て急にやる気を出した人(笑)が,ある分野を学ぼうとする際よくぶち当たる壁が,前提となる他分野の知識の欠落です.(筆者も,自分が疎いコンピュータ関連の事を調べるのに,その説明文の中にまた知らないカタカナ単語が 3 つくらい現れてよく挫折します(苦笑).
ところが前述した通り,整数という単元の考察対象は,整数という 1 種類の数だけ!メチャメチャ狭いんです.そしてなにしろ「原始的」ですから,極論すれば,「整数」だけで1つの学問を形成している,とすら言えるのです.よって,前提として知ってなきゃいけない事柄が極端に少ない訳です.
さらに追加で 1 つ.これまで勉強サボってきた人にとってのもう一つの難敵が「計算」ってやつでして・・・習得にものすごく時間と忍耐を要します.ところが「整数」って,方針がわかっていざ解答を書き出すと,けっこうあっという間に「完答」まで辿り着けちゃう,要するに,計算量が少ないんです(「場合の数・確率」と一二を争います).
以上の 2 点より,「整数」においては,今現在数学が上手に学べてないなと嘆いている人でも,心機一転,特定分野攻略成功体験ができる可能性が比較的高いと言えます.また,それを通して数学全般に対する正しい学び方をマスターする絶好の機会,突破口ともなり得るのです.
ハイ.気合い,入りましたね.では・・・行きましょう!
(注意)
計算量が少ないといっても,展開とか因数分解という最低限のことは正しくできてくれていないと困ります.そこで,『準備編』において「整式」に関する基本がチェックできるようにしてあります.
なお,数学全般の習得には,計算力は不可欠,というか,ハッキリ言うと最重要です.(なので私は「計算」を主体とする本を出版しています.)
本書では,一部,数字Bの数列(数学B)などを融合した問題も扱います.そのための前提となるう分野に関する基本を,『準備編』としてまとめておきましたので,適宜活用して下さい.ただし,本書の主眼はあくまでも「整数」ですので,「数列」に関しては深入りしないように配慮しています.よって,ある程度は数列が理解できていることを前提として,数列との融合問題を扱っています.
さらに,ごく一部では数学III極限と絡めたものも現れますが,その際には理系限定であることを明記しますから御安心下さい.
あと,数学の全てにおいて,「論理的に考えること」は必須ですから,『準備編』で「集合・論理」もおさらいします.
(参考)
「整数」と同様,そもそも根本となる基本原理がわかっていないことには,問題をいくら解こうが,「この問題で何を学んでいるか」が把握できず,学習内容が定着しないで消えて行ってしまう分野の代表が,「数列」「ベクトル」(いずれも整数B)です.
一方,数学の中にも ,問題を解く練習,問題演習を積み重ねて行けば,ある程度は出来るようになる分野もあります(例えば微分・積分とか).(ちなみに,そのどちらにも当てはまらないものとして,「確率」が挙げられます.これについては拙著で.)
あ,今述べてるのは,全てあるレベル以上を想定した場合 の話です.そうでない場合,入試における数学は,問題演習の積み重ねにより解き方のパターンを覚えていく方法論でもなんとかなってしまうことも,ままあります.
(参考)
数学Ⅲの「微分積分極限」は,いろんな意味で「整数」と真逆です.他分野の予備知識・計算量ともガッツリあります.逆に,そこさえどうにかなっていれば,多少下手くそな勉強法でもある程度は騙し騙しできるようになったりもします.もちろん,このような分野と言えども基本をベースにして学んだ方がはるかに結果が実り多きものになることは言うまでもありませんが.
[2] 構成
以下で用いる「ITEM」とは,ある内容に関するひとまとまりの項目のことを言います.
『準備編』→マークは〈準〉
整数をメインテーマとする問題中で,しばしば前提とされる 3 分野:「整式」,「数列」,「集合・論理」の知識を,「展開」,「等差数列」などのITEMにまとめ,軽くおさらいします.
『基本編』→マークは〈基〉
整数に関する基本事項を体系的にまとめました.ここが,今後全ての学習ベースとなります.「約数・倍数」,「互いに素」など,12 個のITEMから構成されます.
『確認問題』→マークは〈確〉
基本編の内容理解を確認・定着するためのワンテーマ小問集.基本編 ITEM と一対一に対応しているので,並行して解いて行くと良いでしょう.基本編の該当ページからリンクが貼られています.また,確認問題から ➟〈基〉 で,対応する基本編ページへリンクします.
おおよそ,基本編と同名のITEMで構成されています.一部,中堅大学の入試問題レベルも含まれます.
『実戦問題』→マークは〈実〉
いよいよ入試で実際に出題される問題です.いちおうメインテーマごとに 13 個のITEMに分かれていますが,その境界線はややぼんやりしていることもあります.中堅大学レベルから,一部,入試レベルを超えた問題まで含まれます.とくに最終セクション:「融合・発展」は,内容,レベルとも“なんでもあり”です.(笑)
なお,「実戦問題」と称しながら,中にはその後で扱う問題に向けての,“準備”としての軽~い問題や,扱う内容の説明をした「概説」も含まれていますので,ご了承ください.
『用語一覧』→マークは〈語〉
使用する基本単語について,読み方,意味・定義,英訳(アクセント位置付き),それを表す際に使う文字,主要参照箇所へのリンクという盛り沢山な情報を提供.
[3] 使い方
おおよそ,次の順序に進めるのが標準的な使い方です.
『準備編』に,必要に応じて“サッと”目を通す.メインはあくまで「整数」なので,ここに時間を掛けず,整数を学習しながら,必要に応じて戻って参照すればOK.
『基本編』を,けっこうしっかり読み進める.学校等で既習であるはずなので,一応「知ってはいるな」ということがほとんどのハズ.ただし,読むだけでは自分が理解できているか否かを自分自身では判断できないもの.そこで・・・
『基本編』を読みながら,各ITEMからリンクしている『基本確認問題』を並行して解いてみる.で,理解しにくいときは対応する『基本編』に戻る.
『実戦問題』に挑戦する.初めから全て自分で解ける・・・訳がない(笑).取り組み方は,だいたい次の通り.
いちおう自力で解こうとしてみる.
→無理なら,使えそうな『基本編』『基本確認問題』のITEMを探す.
→それでも無理なら,【着眼】や【方針】を見る.
→それでもなお無理なら,【解答】や【解説】等を読む.
→それを理解し,自分の手で解答を書く.
→それでも途中で詰まる所があれば,それがあなたの弱点.
→そこを補強し,解答の全てが自力で書き切れるようにする.
これを,全問題に対して完璧に行う・・・のがベストだが・・・たぶんシンドイ(笑).時間・体力と相談しながらやりくりするのが受験生.
『本書のその先』
実戦問題で扱うものの多くが“定番”と言える問題です.もちろんそれ自体が頻出であり,また,それを元にして少しヒネッたり融合したりすることで,多くの入試問題が作られます.したがって,本書で必須事項をしっかり学んだ後なら,テキトーに問題集なり過去問なりで“雑多な”問題演習を行った際,本書で得た基礎力を核として,しっかりと体系的に整理された知識が蓄積されて行くはずです.
◆以下,関連ページ
→ 体系が見える基本事項集「整数」へ